중3-1 기말 수학 | 핵심 기출 20선

①

제곱근과 실수

1

제곱근의 뜻과 성질

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📌 핵심 공식

• a ≥ 0일 때, a의 제곱근은 ±√a

• (√a)² = a (단, a ≥ 0)

• √(a²) = |a| = a (a≥0), = -a (a<0)

• √a × √b = √(ab) (a≥0, b≥0)

• √a ÷ √b = √(a/b) (a≥0, b>0)

⚡ 반드시 암기

√(a²) = |a| — a가 음수여도 절댓값!

0의 제곱근은 0 하나뿐

음수의 제곱근은 실수에서 존재하지 않음

무리수: 순환하지 않는 무한소수 (예: √2, π)

💡 예제

√((-3)²) + √9 의 값은?

풀이: √((-3)²) = |-3| = 3, √9 = 3 → 답: 6

2

제곱근의 대소관계 & 유리화

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📌 핵심 공식

• a>0, b>0이면 a>b ⟺ √a > √b

• 유리화: a/√b = a√b/b

• a/(√b+√c) = a(√b-√c)/(b-c)

⚡ 반드시 암기

분모에 근호가 있으면 무조건 유리화

√2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.732, √5 ≈ 2.236

💡 예제

3/√3 을 유리화하면?

풀이: 3/√3 = 3√3/3 = √3

②

다항식의 곱셈과 인수분해

3

곱셈 공식

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📌 핵심 공식 (완전 암기 필수)

① (a+b)² = a²+2ab+b²

② (a-b)² = a²-2ab+b²

③ (a+b)(a-b) = a²-b²

④ (x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab

⑤ (ax+b)(cx+d) = acx²+(ad+bc)x+bd

⚡ 반드시 암기

(a+b)² = a²+2ab+b² ← 가운데 항 2ab 빠뜨리지 말기!

합차공식: (a+b)(a-b) = a²-b² ← b²이 빠짐

💡 예제

(2x+3)² 을 전개하면?

풀이: 4x²+12x+9

4

인수분해 공식

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📌 핵심 공식

① a²+2ab+b² = (a+b)²

② a²-2ab+b² = (a-b)²

③ a²-b² = (a+b)(a-b)

④ x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)

⑤ acx²+(ad+bc)x+bd = (ax+b)(cx+d)

⚡ 인수분해 순서

공통인수 먼저 → 공식 적용 → 더 분해되는지 확인

x²+(a+b)x+ab: 두 수의 합과 곱으로 역추적

💡 예제

x²-5x+6 을 인수분해하면?

풀이: 두 수의 합=-5, 곱=6 → -2와 -3 → (x-2)(x-3)

③

이차방정식

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이차방정식의 풀이

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📌 핵심 공식

• 인수분해법: ax²+bx+c=0 → (px+q)(rx+s)=0

• 제곱근법: x²=k → x=±√k (k≥0)

• 완전제곱식: (x+p)²=q → x=-p±√q

• 근의 공식: x = (-b±√(b²-4ac)) / 2a

⚡ 판별식 D (반드시 암기)

D = b²-4ac > 0 : 서로 다른 두 실근

D = b²-4ac = 0 : 중근 (같은 두 실근)

D = b²-4ac < 0 : 실근 없음 (허근)

💡 예제

x²-3x+2=0을 풀어라

풀이: (x-1)(x-2)=0 → x=1 또는 x=2

6

근과 계수의 관계 & 활용

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📌 근과 계수의 관계 (비에타 공식)

ax²+bx+c=0의 두 근 α, β라 하면

• α+β = -b/a (두 근의 합)

• α×β = c/a (두 근의 곱)

⚡ 활용 포인트

두 근이 주어지면 역으로 방정식 구성 가능

α²+β² = (α+β)² - 2αβ 로 변환

💡 예제

x²-5x+6=0의 두 근의 합과 곱은?

풀이: 합=-(-5)/1=5, 곱=6/1=6

④

이차함수

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이차함수의 그래프와 표준형

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📌 핵심 공식

• 기본형: y = ax² (꼭짓점: 원점)

• 표준형: y = a(x-p)²+q

• 꼭짓점: (p, q), 축: x = p

• 일반형: y = ax²+bx+c

• 꼭짓점 x좌표: x = -b/(2a)

⚡ 반드시 암기

a>0: 아래로 볼록(최솟값), a<0: 위로 볼록(최댓값)

|a|가 클수록 폭이 좁고, 작을수록 폭이 넓음

y절편: x=0 대입 → c

y=a(x-p)²+q에서 x축 방향으로 p, y축 방향으로 q 이동

💡 예제

y = 2(x-1)²+3 의 꼭짓점과 축의 방정식은?

풀이: 꼭짓점 (1,3), 축 x=1, a=2>0이므로 최솟값 3

8

이차함수 활용 & x절편

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📌 핵심 공식

• x절편: y=0으로 놓고 x값 구하기

• 최대·최소: 꼭짓점의 y좌표

• 일반형→표준형: 완전제곱식 변환

ax²+bx+c = a(x+b/2a)²+c-b²/4a

⚡ 완전제곱식 변환 단계

① x²의 계수로 묶기 ② (x+■)² 만들기 ③ 남은 상수 정리

💡 예제

y = x²+4x+1 을 표준형으로 변환하면?

풀이: y=(x²+4x+4)-4+1=(x+2)²-3, 꼭짓점(-2,-3)

정답 및 해설