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고1 수학 기말 핵심 기출 20선
전국 고등학교 기출문제를 분석한
최고난도 핵심 20문제
개념부터 실전까지 완벽 대비
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개념 암기
핵심 공식 정리
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예제 풀이
유형별 예제
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40분 타이머
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📌 출제 단원
단항식·다항식 연산인수분해나머지 정리복소수이차방정식이차함수연립방정식부등식평면좌표직선의 방정식
실전 기출 문제
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1
다항식의 연산개념
다항식의 덧셈·뺄셈·곱셈
동류항끼리 모아 계산한다. 곱셈은 분배법칙을 사용한다.
\((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)
\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
\((a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)
\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
🧠 암기 포인트
- \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\)
- \((a+b)(a-b) = a^2-b^2\) (합차공식)
- \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
예제
\((2x+1)^3\)을 전개하면?
답: \(8x^3+12x^2+6x+1\)
공식
나머지 정리와 인수 정리
다항식 \(f(x)\)를 \((x-a)\)로 나눈 나머지는 \(f(a)\)이다.
나머지 정리: 나머지 \(= f(a)\)
인수 정리: \(f(a)=0 \Leftrightarrow (x-a)\)가 \(f(x)\)의 인수
인수 정리: \(f(a)=0 \Leftrightarrow (x-a)\)가 \(f(x)\)의 인수
🧠 암기 포인트
- \(f(x) \div (x-a)\)의 나머지 \(= f(a)\)
- \(f(x) \div (ax-b)\)의 나머지 \(= f\!\left(\dfrac{b}{a}\right)\)
- \(f(a)=0\)이면 \((x-a)\)는 인수!
예제
\(f(x)=x^3-2x+1\)을 \((x-1)\)로 나눈 나머지는?
답: \(f(1)=1-2+1=0\) → 나머지 \(0\)
공식
인수분해 핵심 공식
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
\(acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)\)
\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
\(acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)\)
예제
\(x^3+8\)을 인수분해하면?
답: \((x+2)(x^2-2x+4)\)
2
복소수와 이차방정식개념
복소수
허수 단위 \(i = \sqrt{-1}\), \(i^2=-1\)
복소수: \(a+bi\) (a, b는 실수)
켤레복소수: \(\overline{a+bi}=a-bi\)
\(i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1\) (주기 4)
켤레복소수: \(\overline{a+bi}=a-bi\)
\(i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1\) (주기 4)
🧠 암기 포인트
- \(i^{4n}=1,\ i^{4n+1}=i,\ i^{4n+2}=-1,\ i^{4n+3}=-i\)
- \(a+bi=0 \Leftrightarrow a=0, b=0\)
- \(a+bi=c+di \Leftrightarrow a=c, b=d\)
예제
\(i^{23}\)의 값은?
답: \(23=4\times5+3\)이므로 \(i^{23}=i^3=-i\)
공식
이차방정식의 근과 계수의 관계
\(ax^2+bx+c=0\)의 두 근 \(\alpha, \beta\)에 대해
\(\alpha+\beta = -\dfrac{b}{a}\),\quad \(\alpha\beta = \dfrac{c}{a}\)
\(\alpha+\beta = -\dfrac{b}{a}\),\quad \(\alpha\beta = \dfrac{c}{a}\)
🧠 암기 포인트
- 두 근의 합 \(= -\dfrac{b}{a}\) (b 앞 부호 반대!)
- 두 근의 곱 \(= \dfrac{c}{a}\)
- 판별식 \(D=b^2-4ac\): \(D>0\) 서로 다른 두 실근, \(D=0\) 중근, \(D<0\) 허근
예제
\(2x^2-5x+3=0\)의 두 근의 합과 곱은?
합: \(\dfrac{5}{2}\), 곱: \(\dfrac{3}{2}\)
암기
이차함수와 이차방정식의 관계
\(y=ax^2+bx+c\)의 꼭짓점: \(\left(-\dfrac{b}{2a},\ -\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
축의 방정식: \(x=-\dfrac{b}{2a}\)
축의 방정식: \(x=-\dfrac{b}{2a}\)
🧠 암기 포인트
- 완전제곱식 변형: \(a(x-p)^2+q\) 꼴로 변형
- 이차방정식의 근 = 이차함수의 x절편
- \(a>0\): 아래로 볼록, \(a<0\): 위로 볼록
3
방정식과 부등식공식
연립방정식 / 고차방정식
삼차방정식 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
인수 정리로 유리수 근 찾은 후 인수분해
\(\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}\)
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}\)
\(\alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}\)
인수 정리로 유리수 근 찾은 후 인수분해
\(\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}\)
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}\)
\(\alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}\)
예제
\(x^3-6x^2+11x-6=0\)을 풀면?
답: \(f(1)=0\)이므로 \((x-1)(x-2)(x-3)=0\), \(x=1,2,3\)
공식
절댓값과 부등식
\(|x-a| \leq k \Leftrightarrow a-k \leq x \leq a+k\)
\(|x-a| \geq k \Leftrightarrow x \leq a-k\) 또는 \(x \geq a+k\)
이차부등식: \(ax^2+bx+c>0\), 근의 위치 파악 후 풀기
\(|x-a| \geq k \Leftrightarrow x \leq a-k\) 또는 \(x \geq a+k\)
이차부등식: \(ax^2+bx+c>0\), 근의 위치 파악 후 풀기
🧠 암기 포인트
- \(|A| < k\) (k>0) ↔ \(-k < A < k\)
- \(|A| > k\) ↔ \(A < -k\) 또는 \(A > k\)
- 이차부등식: 판별식으로 근 존재 여부 먼저 확인
4
도형의 방정식공식
평면좌표 핵심 공식
두 점 \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\)에 대해
거리: \(\overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
중점: \(M=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)
내분점 \(m:n\): \(\left(\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n},\ \dfrac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
거리: \(\overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
중점: \(M=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)
내분점 \(m:n\): \(\left(\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n},\ \dfrac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
예제
\(A(1,2)\), \(B(5,6)\)을 \(1:3\)으로 내분하는 점은?
답: \(\left(\dfrac{1\cdot5+3\cdot1}{4},\ \dfrac{1\cdot6+3\cdot2}{4}\right)=(2,3)\)
공식
직선의 방정식
기울기 \(m\), 점 \((x_1,y_1)\): \(y-y_1=m(x-x_1)\)
두 점 통과: \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
점과 직선 사이의 거리: \(\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
두 점 통과: \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
점과 직선 사이의 거리: \(\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
🧠 암기 포인트
- 평행: 기울기 같고 y절편 다름 (\(m_1=m_2,\ b_1\neq b_2\))
- 수직: \(m_1\cdot m_2=-1\)
- 원의 방정식: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), 중심 \((a,b)\), 반지름 \(r\)
암기
원의 방정식
표준형: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
일반형: \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\)
원과 직선의 위치관계: 중심~직선 거리 \(d\)와 반지름 \(r\) 비교
\(d < r\): 두 점에서 교차,\quad \(d=r\): 접선,\quad \(d > r\): 교점 없음
일반형: \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\)
원과 직선의 위치관계: 중심~직선 거리 \(d\)와 반지름 \(r\) 비교
\(d < r\): 두 점에서 교차,\quad \(d=r\): 접선,\quad \(d > r\): 교점 없음
예제
\(x^2+y^2-4x+2y-4=0\)의 중심과 반지름은?
완전제곱식: \((x-2)^2+(y+1)^2=9\) → 중심 \((2,-1)\), 반지름 \(3\)
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