수능 수학 킬러문항 20선

UNIT 01 수열 · 점화식

핵심 공식 (암기 필수)

등차수열: \(a_n = a_1 + (n-1)d\), \(S_n = \dfrac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\)
등비수열: \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\), \(S_n = \dfrac{a_1(r^n - 1)}{r-1}\) \((r \neq 1)\)
\(\sum_{k=1}^{n}k = \dfrac{n(n+1)}{2}\), \(\sum_{k=1}^{n}k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\), \(\sum_{k=1}^{n}k^3 = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2\)

암기 포인트

▶ \(S_n - S_{n-1} = a_n\) (단, \(n \geq 2\)) — \(n=1\)일 때 \(a_1 = S_1\)이 성립하는지 반드시 확인
▶ 점화식 \(a_{n+1} = pa_n + q\) 유형: \(\alpha = \dfrac{q}{1-p}\) 놓고 \(b_n = a_n - \alpha\) 치환 → 등비수열
▶ \(a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n\): 특성방정식 \(t^2 = pt + q\)의 두 근 \(\alpha, \beta\) 이용

예제

\(a_1=2\), \(a_{n+1} = 3a_n - 4\)일 때 \(a_5\)를 구하시오.
풀이: \(\alpha = \dfrac{-4}{1-3}=2\), \(b_n=a_n-2\) 이면 \(b_{n+1}=3b_n\), \(b_1=0\)
따라서 \(b_n=0\) → \(a_n = 2\) (모든 \(n\))

정답: \(a_5 = 2\)

UNIT 02 미분 · 극값과 최대·최소

핵심 공식

합성함수 미분: \((f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
음함수 미분: \(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y}\)
롤의 정리: \([a,b]\)에서 연속, \((a,b)\)에서 미분가능, \(f(a)=f(b)\) \(\Rightarrow\) \(\exists c \in (a,b)\): \(f'(c)=0\)
평균값 정리: \(\exists c \in (a,b)\): \(f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

암기 포인트

▶ 극값 조건: \(f'(c)=0\)이고 \(f'\)의 부호가 바뀔 때
▶ 삼차함수 극대·극소: \(f'(x)=0\)의 두 근을 \(\alpha < \beta\)로 놓으면 \(\alpha\)에서 극대, \(\beta\)에서 극소
▶ 방정식 \(f(x)=k\)의 실근 개수 = 직선 \(y=k\)와 \(y=f(x)\)의 교점 수

UNIT 03 적분 · 넓이 · 부피

핵심 공식

\(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\) (뉴턴-라이프니츠)
치환적분: \(\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du\) (단, \(u=g(x)\))
부분적분: \(\int uv'\,dx = uv - \int u'v\,dx\)
두 곡선 사이 넓이: \(\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx\)

암기 포인트

▶ 넓이에서는 절댓값! 교점 사이를 나눠서 계산
▶ 회전체 부피(x축): \(V = \pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx\)
▶ \(\dfrac{d}{dx}\int_a^{g(x)}f(t)\,dt = f(g(x)) \cdot g'(x)\)

UNIT 04 확률 · 조합 · 통계

핵심 공식

이항분포: \(B(n,p)\) → \(E=np\), \(V=np(1-p)\)
정규분포: \(N(\mu, \sigma^2)\) → \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)\)
모평균 신뢰구간 (95%): \(\bar{X} \pm 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
중복조합: \(_nH_r = \binom{n+r-1}{r}\)

암기 포인트

▶ \(P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)
▶ 독립: \(P(A \cap B)=P(A)P(B)\) / 조건부: \(P(A|B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
▶ 같은 것이 있는 순열: \(\dfrac{n!}{p!\,q!\,\cdots}\)

UNIT 05 지수함수 · 로그함수

핵심 공식

\(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\), \(\log_a\dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\)
\(\log_a x^n = n\log_a x\), 밑변환: \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)
\((\log_a b)(\log_b c) = \log_a c\) (연쇄법칙)

암기 포인트

▶ \(a^{\log_a N} = N\) (지수·로그 역함수 관계)
▶ \(y=a^x\)와 \(y=\log_a x\)는 \(y=x\)에 대해 대칭
▶ 부등식: \(a>1\)이면 \(\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x) > 0\)

UNIT 06 삼각함수 · 사인법칙 · 코사인법칙

핵심 공식

사인법칙: \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)
코사인법칙: \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
덧셈정리: \(\sin(\alpha \pm \beta)=\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta\)
이배각: \(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\), \(\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta\)

암기 포인트

▶ 삼각형 넓이: \(S=\dfrac{1}{2}ab\sin C\)
▶ \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\), \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) (변형: \(\tan^2\theta+1=\sec^2\theta\))

UNIT 07 공간벡터 · 평면의 방정식

핵심 공식

내적: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)
두 직선 방향벡터가 \(\vec{d_1},\vec{d_2}\)일 때: 평행 \(\Leftrightarrow\) \(\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \vec{0}\), 수직 \(\Leftrightarrow\) \(\vec{d_1}\cdot\vec{d_2}=0\)
점과 평면 거리: \(d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

01번 수열 킬러

수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(a_1 = 1\)
(나) \(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n\)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{10} a_n\)의 값은?

📝 해설

피보나치 수열: \(a_1=1,\,a_2=1,\,a_3=2,\,a_4=3,\,a_5=5,\,a_6=8,\,a_7=13,\,a_8=21,\,a_9=34,\,a_{10}=55\)
단, 이 문제는 \(a_2\)가 주어지지 않았으므로 \(a_2=1\)로 놓아도 조건 만족.
합: \(1+1+2+3+5+8+13+21+34+55 = \mathbf{143}\)

02번 수열 킬러

수열 \(\{a_n\}\)에 대해 \(S_n = n^2 + 3n\)일 때, \(a_{10}\)의 값은?

📝 해설

\(n \geq 2\)일 때: \(a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2+3n) - ((n-1)^2+3(n-1))\)
\(= n^2+3n - n^2+2n-1-3n+3 = 2n+2\)
\(n=1\): \(a_1=S_1=4\), 공식 대입 시 \(2(1)+2=4\) ✓ (일치하므로 모든 n에 성립)
따라서 \(a_{10} = 2(10)+2 = \mathbf{22}\)

03번 미분 킬러

함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 9x + 5\)에 대하여 옳은 것은?

📝 해설

\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 9 = 3(x^2 - 2x + 3)\)
판별식: \(D = 4 - 12 = -8 < 0\)
\(f'(x) > 0\) for all \(x\) (항상 양수) → \(f(x)\)는 순증가
따라서 극값을 갖지 않는다. ③

04번 미분 킬러

함수 \(f(x)=x^3-6x^2+ax+b\)가 \(x=1\)에서 극댓값 \(6\)을 가질 때, \(a+b\)의 값은?

📝 해설

\(f'(x)=3x^2-12x+a\). 극대 조건: \(f'(1)=0\)
\(3(1)^2-12(1)+a=0 \Rightarrow a=9\)
\(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\) → \(x=1\) 극대(✓), \(x=3\) 극소
극댓값 조건: \(f(1)=1-6+9+b=6 \Rightarrow 4+b=6 \Rightarrow b=2\)
따라서 \(a+b=9+2=\mathbf{11}\) ⑤

05번 적분 킬러

\(\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)\,dx\)의 값은?

📝 해설

\(\left[x^3-x^2+x\right]_0^2 = (8-4+2) - 0 = \mathbf{6}\)

06번 적분 · 넓이 킬러

두 곡선 \(y=x^2\)과 \(y=2x\)로 둘러싸인 도형의 넓이는?

📝 해설

교점: \(x^2=2x \Rightarrow x=0,2\)
\(\displaystyle\int_0^2(2x-x^2)\,dx = \left[x^2-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4-\dfrac{8}{3} = \mathbf{\dfrac{4}{3}}\)

07번 확률 킬러

서로 다른 6권의 책을 3권씩 두 묶음으로 나누는 방법의 수는?

📝 해설

두 묶음이 구별되지 않으므로:
\(\dfrac{\binom{6}{3}}{2!} = \dfrac{20}{2} = \mathbf{10}\)

08번 확률 킬러

이항분포 \(B\!\left(n,\dfrac{1}{3}\right)\)을 따르는 확률변수 \(X\)의 분산이 \(20\)일 때, \(n\)의 값은?

📝 해설

\(V(X)=np(1-p)=n\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{2n}{9}=20\)
\(\Rightarrow n = 90\)

09번 지수함수 킬러

방정식 \(4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0\)의 실수 해는?

📝 해설

\(t=2^x (t>0)\)으로 치환: \(t^2-3t-4=0 \Rightarrow (t-4)(t+1)=0\)
\(t>0\)이므로 \(t=4=2^2 \Rightarrow x=\mathbf{2}\)

10번 로그함수 고난도

\(\log_2 3 = a\), \(\log_2 5 = b\)일 때, \(\log_{12} 15\)를 \(a, b\)로 나타내면?

📝 해설

\(\log_{12}15 = \dfrac{\log_2 15}{\log_2 12}\)
\(\log_2 15 = \log_2(3\times5) = \log_2 3 + \log_2 5 = a+b\)
\(\log_2 12 = \log_2(4\times3) = \log_2 4 + \log_2 3 = 2+a\)
따라서 \(\log_{12}15 = \dfrac{a+b}{2+a} = \dfrac{1+b}{2+a}\) ← 단, 여기서 \(a+b\)와 \(1+b\)는 다름.
정확히: \(\dfrac{a+b}{2+a}\). ① \(\dfrac{a+b}{a+2}\) = ③ \(\dfrac{1+b}{2+a}\)는 서로 다르므로
정답: ① \(\dfrac{a+b}{a+2}\) (= \(\dfrac{\log_2 3+\log_2 5}{2+\log_2 3}\))

11번 삼각함수 킬러

삼각형 \(ABC\)에서 \(a=7,\,b=5,\,c=3\)일 때 \(\cos A\)의 값은?

📝 해설

코사인법칙: \(\cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \dfrac{25+9-49}{2\cdot5\cdot3} = \dfrac{-15}{30} = \mathbf{-\dfrac{1}{2}}\)

12번 미분 · 합성함수 킬러

\(f(x)=(x^2+1)^5\)일 때, \(f'(1)\)의 값은?

📝 해설

합성함수 미분: \(f'(x)=5(x^2+1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2+1)^4\)
\(f'(1)=10\cdot1\cdot(1+1)^4=10\cdot16=\mathbf{160}\)

13번 확률·조건부 킬러

주머니에 빨간 공 3개, 흰 공 2개가 들어 있다. 임의로 2개를 꺼낼 때 적어도 1개가 빨간 공일 확률은?

📝 해설

여사건 이용: P(빨간 없음) = \(\dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{5}{2}} = \dfrac{1}{10}\)
P(적어도 1개 빨간) \(= 1 - \dfrac{1}{10} = \mathbf{\dfrac{9}{10}}\)

14번 수열 · 등비 킬러

등비수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_2=6\), \(a_5=48\)일 때 공비 \(r\)의 값은?

📝 해설

\(\dfrac{a_5}{a_2}=r^3=\dfrac{48}{6}=8 \Rightarrow r=\mathbf{2}\)

15번 적분 · 치환 킬러

\(\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1-x^2}\,dx\)의 값은?

📝 해설

\(u=1-x^2\)으로 치환: \(du=-2x\,dx\), \(x:0\to1\) 이면 \(u:1\to0\)
\(= \int_1^0 \sqrt{u}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)du = \dfrac{1}{2}\int_0^1 u^{1/2}\,du = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\)

16번 미분 · 접선 킬러

곡선 \(y=x^3-2x+1\) 위의 점 \((1, 0)\)에서의 접선의 방정식이 \(y=ax+b\)일 때, \(a+b\)의 값은?

📝 해설

\(y'=3x^2-2\), 접선의 기울기: \(y'(1)=3-2=1 \Rightarrow a=1\)
점 \((1,0)\) 대입: \(0=1\cdot1+b \Rightarrow b=-1\)
\(a+b=1+(-1)=\mathbf{0}\)

17번 정규분포 킬러

확률변수 \(X\)가 정규분포 \(N(50, 4^2)\)을 따를 때,
\(P(46 \leq X \leq 58)\)의 값은? (단, \(P(0 \leq Z \leq 1)=0.3413\), \(P(0 \leq Z \leq 2)=0.4772\))

📝 해설

\(Z=\dfrac{X-50}{4}\)
\(P(46 \leq X \leq 58) = P\!\left(\dfrac{46-50}{4} \leq Z \leq \dfrac{58-50}{4}\right) = P(-1 \leq Z \leq 2)\)
\(= P(0 \leq Z \leq 1) + P(0 \leq Z \leq 2) = 0.3413 + 0.4772 = \mathbf{0.8185}\)

18번 수열 · 합 공식 킬러

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k+1) = 99\)를 만족시키는 자연수 \(n\)의 값은?

📝 해설

\(\sum_{k=1}^n(2k+1) = 2\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}+n = n^2+2n = 99\)
\(n^2+2n-99=0 \Rightarrow (n-9)(n+11)=0 \Rightarrow n=\mathbf{9}\) (자연수)

19번 미분 · 속도·가속도 킬러

수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 \(t\)에서의 위치가 \(x(t)=t^3-6t^2+9t\)일 때, 점 P가 운동 방향을 바꾸는 시각의 합은?

📝 해설

속도: \(v(t)=x'(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)\)
\(v(t)=0 \Rightarrow t=1\) 또는 \(t=3\)
\(t=1\) 전후: \(+\to-\) (방향 바뀜), \(t=3\) 전후: \(-\to+\) (방향 바뀜)
방향 바꾸는 시각의 합: \(1+3=\mathbf{4}\) — 하지만 두 시각의 합은 \(1+3=4\). ②

20번 함수 · 최댓값 킬러

닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 함수 \(f(x)=x^3-3x^2+1\)의 최댓값과 최솟값의 합은?

📝 해설

\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0 \Rightarrow x=0,2\)
후보값: \(f(-1)=-1-3+1=-3\), \(f(0)=1\), \(f(2)=8-12+1=-3\)
최댓값: \(f(0)=1\), 최솟값: \(-3\)
합: \(1+(-3)=\mathbf{-2}\)

수능 수학킬러문항 20선

정답 및 해설

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