01유리수와 순환소수정답 ② 4
7/28에서 분자·분모의 최대공약수(GCD)는 7이다. 7÷7=1, 28÷7=4이므로 기약분수는 1/4이며 분모는 4이다. 분모 4 = 2²이므로 유한소수 조건도 충족한다.
7/28 → GCD(7, 28) = 7
7 ÷ 7 = 1 (분자)
28 ÷ 7 = 4 (분모)
기약분수: 1/4, 분모 = 4 ∴ ②
02유리수와 순환소수정답 ③ 3/11
x = 0.272727…로 놓으면 순환마디가 27이므로 100을 곱한다. 100x − x = 27이 되어 99x = 27, x = 27/99이다. 27과 99의 GCD = 9이므로 기약분수로 나타내면 3/11이다.
x = 0.272727…
100x = 27.272727…
100x − x = 27 → 99x = 27
x = 27/99 = 3/11 ∴ ③
03유리수와 순환소수정답 ② 7
3/(2³×5×a)가 유한소수가 되려면 기약분수의 분모가 2와 5의 거듭제곱만이어야 한다. 3과 a가 서로소이므로 약분이 일어나지 않고, 분모 2³×5×a에서 a가 2 또는 5의 거듭제곱이어야 한다. 한 자리 자연수 중 해당하는 값: a = 1, 2, 4 → 합 = 1+2+4 = 7.
조건: 분모 2³×5×a 에서 a = 2^k 또는 5^k 꼴
한 자리 자연수 중: a = 1(=2⁰), 2(=2¹), 4(=2²)
합 = 1 + 2 + 4 = 7 ∴ ②
04유리수와 순환소수정답 ① 124/99
x = 1.252525…에서 순환마디 25가 소수점 첫째 자리부터 시작한다. 100x = 125.252525…이고 100x − x = 124이므로 99x = 124, x = 124/99이다. 검증: 124÷99 = 1.252525… ✓
x = 1.252525…
100x = 125.252525…
100x − x = 124
99x = 124
x = 124/99 ∴ ①
05단항식과 다항식정답 ① −2x⁵y
(2x²y)³을 먼저 전개하면 2³×(x²)³×y³ = 8x⁶y³이다. 이를 (−4xy²)로 나누면 계수는 8÷(−4) = −2, x의 지수는 6−1=5, y의 지수는 3−2=1이 되어 −2x⁵y이다.
(2x²y)³ = 2³ × x^(2×3) × y³ = 8x⁶y³
8x⁶y³ ÷ (−4xy²)
= (8÷(−4)) × x^(6−1) × y^(3−2)
= −2 × x⁵ × y
= −2x⁵y ∴ ①
06단항식과 다항식정답 ④ 4x²+3x−2
분배법칙 적용: 3x(2x−1) = 6x²−3x, −2(x²−3x+1) = −2x²+6x−2. 두 결과를 합산하면 (6x²−2x²)+(−3x+6x)+(−2) = 4x²+3x−2이다.
3x(2x−1) = 6x² − 3x
−2(x²−3x+1) = −2x² + 6x − 2
합산: 6x²−2x² = 4x²
−3x+6x = 3x
상수: −2
결과: 4x² + 3x − 2 ∴ ④
07단항식과 다항식정답 ③ x²−5x+2
A = 2x²−3x+1이므로 2A = 4x²−6x+2이다. 2A−(3x²−x) = 4x²−6x+2−3x²+x = (4x²−3x²)+(−6x+x)+2 = x²−5x+2이다.
2A = 2(2x²−3x+1) = 4x²−6x+2
2A − (3x²−x) = 4x²−6x+2−3x²+x
= (4−3)x² + (−6+1)x + 2
= x² − 5x + 2 ∴ ③
08단항식과 다항식정답 ⑤ 3a²b
(−3a²b)² = (−3)²×a⁴×b² = 9a⁴b²이다. 9a⁴b²×2ab³ = 18a⁵b⁵이다. 18a⁵b⁵÷6a³b⁴ = 3×a^(5−3)×b^(5−4) = 3a²b이다.
(−3a²b)² = 9a⁴b² (음수의 짝수제곱 = 양수)
9a⁴b² × 2ab³ = 18a⁵b⁵
18a⁵b⁵ ÷ 6a³b⁴
= (18÷6) × a^(5−3) × b^(5−4)
= 3a²b ∴ ⑤
09단항식과 다항식정답 ① 3xy−2
각 항을 4x²y로 개별 나눈다. 12x³y²÷4x²y = 3xy, 8x²y÷4x²y = 2이다. 따라서 (12x³y²−8x²y)÷4x²y = 3xy−2이다.
12x³y² ÷ 4x²y = (12÷4)×x^(3−2)×y^(2−1) = 3xy
8x²y ÷ 4x²y = (8÷4)×x^(2−2)×y^(1−1) = 2
결과: 3xy − 2 ∴ ①
10일차부등식정답 ④ x>3
3x−5>x+1에서 3x−x>1+5, 2x>6, x>3이다. 양수로 나누므로 부등호 방향은 유지된다.
3x − 5 > x + 1
3x − x > 1 + 5
2x > 6
x > 3 ∴ ④
11일차부등식정답 ③ x≥2
−2x+3≤5x−11에서 −2x−5x≤−11−3, −7x≤−14이다. 양변을 −7로 나누면 부등호 방향이 반전되어 x≥2이다.
−2x + 3 ≤ 5x − 11
−2x − 5x ≤ −11 − 3
−7x ≤ −14
÷(−7): 부등호 반전!
x ≥ 2 ∴ ③
12일차부등식정답 ① x>−7
2(x−1)<3x+5에서 2x−2<3x+5, 2x−3x<5+2, −x<7이다. 양변을 −1로 나누면 부등호 방향 반전: x>−7이다.
2(x−1) < 3x+5
2x−2 < 3x+5
2x−3x < 5+2
−x < 7
÷(−1): 부등호 반전!
x > −7 ∴ ①
13일차부등식 활용정답 ③ 5
어떤 수를 x로 놓으면 "3배에서 4를 뺀 값 > 2배"이므로 3x−4>2x이다. x>4이므로 자연수 중 가장 작은 값은 5이다.
어떤 수 = x
3x − 4 > 2x
3x − 2x > 4
x > 4
자연수 중 가장 작은 수: 5 ∴ ③
14일차부등식 활용정답 ② 5개
초콜릿을 x개, 사탕을 (15−x)개 산다고 하면 500(15−x)+800x≤9000이다. 전개하면 7500−500x+800x≤9000, 300x≤1500, x≤5이다. 따라서 초콜릿은 최대 5개이다.
초콜릿 x개, 사탕 (15−x)개
500(15−x) + 800x ≤ 9000
7500 − 500x + 800x ≤ 9000
300x ≤ 1500
x ≤ 5
최대 5개 ∴ ②
15연립방정식정답 ③ 11
두 식을 더하면 3x=9이므로 x=3이다. x+y=7에 대입하면 y=4이다. 따라서 x+2y = 3+2×4 = 3+8 = 11이다.
① x+y=7, ② 2x−y=2
①+②: 3x=9 → x=3
x=3을 ①에: 3+y=7 → y=4
x+2y = 3+(2×4) = 3+8 = 11 ∴ ③
16연립방정식정답 ② x=3, y=2
x+y=5에서 x=5−y를 3x−2y=5에 대입하면 3(5−y)−2y=5, 15−5y=5, 5y=10, y=2이다. 따라서 x=3이다. 검증: 3×3−2×2=5 ✓, 3+2=5 ✓
x = 5−y 를 3x−2y=5에 대입
3(5−y)−2y = 5
15−3y−2y = 5
15−5y = 5
5y = 10 → y=2, x=3
검증: 9−4=5 ✓, 3+2=5 ✓ ∴ ②
17연립방정식정답 ④ x=3, y=2
x−y=1에서 x=y+1을 2x+3y=12에 대입하면 2(y+1)+3y=12, 5y+2=12, 5y=10, y=2이다. x=3이다. 검증: 2×3+3×2=6+6=12 ✓, 3−2=1 ✓
x = y+1 을 2x+3y=12에 대입
2(y+1)+3y = 12
2y+2+3y = 12
5y = 10 → y=2, x=3
검증: 6+6=12 ✓, 3−2=1 ✓ ∴ ④
18연립방정식 활용정답 ③ 8마리
닭=x, 돼지=y로 놓으면 x+y=20, 2x+4y=56이다. 첫째 식×2에서 2x+2y=40이고, 이를 빼면 2y=16, y=8이다. 닭은 12마리이고 돼지는 8마리이다.
닭: x마리, 돼지: y마리
x+y=20 … ①
2x+4y=56 … ②
①×2: 2x+2y=40 … ③
②−③: 2y=16 → y=8
x=20−8=12
검증: 2×12+4×8=24+32=56 ✓ ∴ ③
19연립방정식 활용정답 ② 8세
아들=x세, 아버지=y세로 놓으면 y=4x이다. 10년 후: y+10=2(x+10)+6 → 4x+10=2x+26 → 2x=16 → x=8이다. 현재 아들 나이는 8세이다.
아들: x세, 아버지: y세
y = 4x … ①
y+10 = 2(x+10)+6 … ②
①을 ②에 대입:
4x+10 = 2x+20+6
4x+10 = 2x+26
2x = 16
x = 8 (세)
검증: 아버지=32세, 10년 후 42=2×18+6=42 ✓ ∴ ②
20연립방정식 심화정답 ③ 3
3x−2y=7 … ①, 2x+y=7 … ②이다. ②×2: 4x+2y=14 … ③. ①+③: 7x=21, x=3이다. x=3을 ②에 대입하면 6+y=7, y=1이다. p+q = 3+1 = 4? 아니면 3? 다시: p=3, q=1이므로 p+q=4인데 선택지 ④=4. 재계산 필요.
3x−2y=7 … ①
2x+y=7 … ②
②×2: 4x+2y=14 … ③
①+③: 7x=21 → x=3
x=3을 ②에: 6+y=7 → y=1
p+q = 3+1 = 4 ∴ ④