2024 기출 완전정복

고1 수학 기말고사
핵심문제 20선

다항식 · 방정식 · 부등식 · 함수 | 난이도 ★★★★☆

남은 시간 40:00
0 / 20 문제 완료
단원 1

다항식의 연산

📌 곱셈 공식 (반드시 암기)
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a−b)² = a² − 2ab + b²
(a+b)(a−b) = a² − b²
(a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
(a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³
a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
📌 인수분해 핵심
a²+2ab+b² = (a+b)²
a²−b² = (a+b)(a−b)
a³+3a²b+3ab²+b³ = (a+b)³
x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
📌 나머지 정리 · 인수 정리
f(a) = r → f(x)를 (x−a)로 나눈 나머지는 r
f(a) = 0 → (x−a)는 f(x)의 인수
조립제법으로 빠르게 계산. f(1), f(−1), f(2), f(−2) 대입해 인수 찾기.
🧠 핵심 암기 포인트
① (a+b)²과 a²+b²을 혼동 금지! → 반드시 2ab 항이 있어야 함
② 곱셈공식 역방향이 인수분해 — 같은 공식 두 방향으로 훈련
③ 나머지정리: "x=a를 대입한 값 = 나머지"
📝 개념 예제
x³ − 3x + 2 를 (x−1)로 나눈 나머지는?
정답: f(1) = 1−3+2 = 0
단원 2

방정식 (이차·고차·연립)

📌 이차방정식 근의 공식
ax²+bx+c=0 일 때
x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a

판별식 D = b²−4ac
D > 0 : 서로 다른 두 실근
D = 0 : 중근 (같은 두 실근)
D < 0 : 서로 다른 두 허근
📌 근과 계수의 관계 (비에타 공식)
ax²+bx+c=0의 두 근 α, β 일 때
α+β = −b/a
αβ = c/a

α²+β² = (α+β)²−2αβ
(α−β)² = (α+β)²−4αβ
📌 허수와 복소수
i = √(−1), i² = −1
i³ = −i, i⁴ = 1 (주기 4)
복소수: a+bi (a,b는 실수)
켤레복소수: a+bi의 켤레 = a−bi
🧠 핵심 암기 포인트
① 허수 i의 거듭제곱은 주기 4 → i⁴ⁿ=1, i⁴ⁿ⁺¹=i, i⁴ⁿ⁺²=−1, i⁴ⁿ⁺³=−i
② 근과 계수 관계: 합=−b/a, 곱=c/a (부호 주의!)
③ 판별식 D=0이면 '중근' → 두 근이 같다
📝 개념 예제
x²−5x+6=0의 두 근의 합과 곱은?
합 = 5/1 = 5, 곱 = 6/1 = 6
단원 3

부등식

📌 이차부등식 풀이 원칙
ax²+bx+c > 0 (a > 0)

D > 0이고 두 근이 α < β 이면:
>0 → x < α 또는 x > β
<0 → α < x < β

D=0 이면 (중근 α):
≥0 → 모든 실수 (x=α 포함)
>0 → x≠α인 모든 실수

D < 0 이면:
>0 → 모든 실수
<0 → 해 없음
📌 절댓값 부등식
|x| < a (a>0) → −a < x < a
|x| > a (a>0) → x < −a 또는 x > a
|x−p| < a → p−a < x < p+a
📌 연립부등식
두 부등식을 각각 풀고 수직선에
표시한 뒤 공통 범위(교집합)를 구함

A < B < C 형태는
A<B, B<C 를 동시에 풀이
🧠 핵심 암기 포인트
① 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 반드시 뒤집힘
② 이차부등식: D<0이고 >0이면 해가 '모든 실수', <0이면 '해 없음'
③ 절댓값: 작으면 AND(교집합), 크면 OR(합집합)
📝 개념 예제
x²−3x−10 < 0의 해를 구하여라.
인수분해: (x−5)(x+2)<0 → −2 < x < 5
단원 4

함수 (유리·무리·합성·역함수)

📌 합성함수와 역함수
합성함수: (g∘f)(x) = g(f(x))
순서 주의: 오른쪽부터 적용

역함수 구하기:
y=f(x) → x와 y 바꾸기 → x=f(y) → y풀기

(f⁻¹∘f)(x) = x
(f∘f⁻¹)(x) = x
📌 유리함수의 그래프
y = k/(x−p) + q
점근선: x=p (수직), y=q (수평)
그래프는 점 (p, q)에 대해 대칭
k>0: 1,3사분면 / k<0: 2,4사분면
📌 무리함수의 그래프
y = √(x−p) + q
시작점: (p, q)
x≥p일 때 정의됨 (근호 안 ≥0)

y = a√(x−p)+q
a>0: 오른쪽 위 / a<0: 오른쪽 아래
🧠 핵심 암기 포인트
① 합성함수 (g∘f)(x): f 먼저, g 나중 — '오른쪽부터' 적용
② 역함수: y=f(x)에서 x↔y 교환 후 y에 대해 풀기, 정의역·치역도 교환
③ 유리함수 y=k/(x−p)+q: 점근선 x=p, y=q 가 핵심
📝 개념 예제
f(x)=2x+1, g(x)=x²일 때 (g∘f)(2)는?
f(2)=5, g(5)=25 → 정답: 25

📋 실전 기출문제 20선

각 문제를 풀고 선택지를 클릭하면 즉시 채점됩니다

1
단원1 · 다항식 곱셈공식
★★★☆☆
다항식 (x + 2y − 3z)²을 전개하였을 때, xy의 계수는?
📖 풀이 해설
(a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca 공식에서 a=x, b=2y, c=−3z로 놓으면
xy 항은 2ab = 2·x·2y = 4xy
따라서 xy의 계수는 4
정답 ② 4
2
단원1 · 나머지 정리
★★★★☆
다항식 f(x)를 (x−1)로 나누면 나머지가 3이고, (x+2)로 나누면 나머지가 −3이다. f(x)를 (x−1)(x+2)로 나눈 나머지를 ax+b라 할 때, a+b의 값은?
📖 풀이 해설
나머지 ax+b라 하면 나머지정리에 의해
f(1) = a + b = 3 ···①
f(−2) = −2a + b = −3 ···②
①−② : 3a = 6 → a = 2
①에 대입: b = 1
따라서 a + b = 2 + 1 = 3
정답 ③ 3
3
단원1 · 인수분해
★★★☆☆
다항식 x³ + 3x² − x − 3을 인수분해하면?
📖 풀이 해설
항을 묶어서 인수분해:
x²(x+3) − 1·(x+3) = (x²−1)(x+3) = (x+1)(x−1)(x+3)
①과 ②는 같은 표현이므로 정답은 (x+1)(x−1)(x+3)
정답 ② (x+1)(x−1)(x+3)
4
단원2 · 복소수 연산
★★★★☆
i = √(−1) 일 때, i¹ + i² + i³ + ⋯ + i¹⁰⁰의 값은?
📖 풀이 해설
i의 거듭제곱은 주기 4:
i¹+i²+i³+i⁴ = i+(−1)+(−i)+1 = 0
100 = 4×25이므로 연속 4개씩 묶으면 모두 0
∴ i¹+i²+⋯+i¹⁰⁰ = 25×0 = 0
정답 ① 0
5
단원2 · 이차방정식 판별식
★★★★☆
이차방정식 x² − 2kx + k + 2 = 0이 서로 다른 두 실근을 가지려면, 실수 k의 범위는?
📖 풀이 해설
서로 다른 두 실근 → 판별식 D > 0
D/4 = k² − (k+2) > 0
k² − k − 2 > 0
(k−2)(k+1) > 0
∴ k < −1 또는 k > 2
정답 ① k < −1 또는 k > 2
6
단원2 · 근과 계수의 관계
★★★★☆
이차방정식 x² − 3x + 1 = 0의 두 근을 α, β라 할 때, α² + β²의 값은?
📖 풀이 해설
근과 계수의 관계:
α + β = 3, αβ = 1
α² + β² = (α+β)² − 2αβ = 9 − 2 = 7
정답 ③ 7
7
단원2 · 이차방정식 활용
★★★★★
이차방정식 x² + ax + b = 0의 두 근이 α, α+2이다. a² − 4b의 값은?
📖 풀이 해설
두 근: α, α+2
합: 2α+2 = −a → a = −(2α+2)
곱: α(α+2) = b
a² − 4b = (2α+2)² − 4α(α+2)
= 4α²+8α+4 − 4α²−8α = 4
(※ α에 관계없이 항상 4)
정답 ② 4
8
단원2 · 고차방정식
★★★★★
방정식 x⁴ − 5x² + 4 = 0의 모든 실수 근의 합은?
📖 풀이 해설
x² = t로 치환하면 t² − 5t + 4 = 0
(t−1)(t−4) = 0 → t = 1 또는 t = 4
x² = 1 → x = ±1
x² = 4 → x = ±2
모든 실수 근의 합: 1+(−1)+2+(−2) = 0
정답 ① 0
9
단원2 · 연립방정식
★★★★☆
연립방정식 x + y = 5, xy = 4를 만족하는 실수 x, y에 대하여 x² + y²의 값은?
📖 풀이 해설
x² + y² = (x+y)² − 2xy
= 5² − 2×4 = 25 − 8 = 17
정답 ③ 17
10
단원3 · 이차부등식
★★★☆☆
부등식 x² − 5x + 4 ≤ 0을 만족하는 정수 x의 개수는?
📖 풀이 해설
(x−1)(x−4) ≤ 0
1 ≤ x ≤ 4
정수: 1, 2, 3, 4 → 4개
정답 ③ 4
11
단원3 · 연립부등식
★★★★☆
연립부등식 2x − 3 > x − 1 이고 3x − 1 ≤ 5x + 3의 해는?
📖 풀이 해설
① 2x−3 > x−1 → x > 2
② 3x−1 ≤ 5x+3 → −2x ≤ 4 → x ≥ −2
교집합: x > 2 AND x ≥ −2 → ∴ x > 2
정답 ⑤ x > 2
12
단원3 · 절댓값 부등식
★★★★☆
부등식 |2x − 4| ≤ 6의 해를 구하면?
📖 풀이 해설
|2x−4| ≤ 6
−6 ≤ 2x−4 ≤ 6
각 변에 4를 더하면: −2 ≤ 2x ≤ 10
2로 나누면: −1 ≤ x ≤ 5
정답 ① −1 ≤ x ≤ 5
13
단원3 · 이차부등식 항상 성립
★★★★★
모든 실수 x에 대하여 부등식 x² − 2kx + k + 6 > 0이 항상 성립하도록 하는 정수 k의 개수는?
📖 풀이 해설
최고차계수 1>0이므로 항상 >0이 되려면 D < 0
D/4 = k² − (k+6) < 0
k² − k − 6 < 0
(k−3)(k+2) < 0
−2 < k < 3
정수 k: −1, 0, 1, 2 → 4개
정답 ① 4개 (정수 k = −1, 0, 1, 2)
14
단원4 · 합성함수
★★★★☆
f(x) = 2x − 1, g(x) = x² + 1일 때, (f ∘ g)(3)의 값은?
📖 풀이 해설
(f∘g)(3) = f(g(3))
g(3) = 3²+1 = 10
f(10) = 2×10−1 = 19
정답 ③ 19
15
단원4 · 역함수
★★★★☆
함수 f(x) = 3x + 6의 역함수 f⁻¹(x)는?
📖 풀이 해설
y = 3x+6에서 x와 y를 교환:
x = 3y+6
y에 대해 풀면: y = (x−6)/3
따라서 f⁻¹(x) = (x−6)/3
정답 ① f⁻¹(x) = (x−6)/3
16
단원4 · 유리함수
★★★★☆
유리함수 y = (2x − 1)/(x − 2)의 점근선은 x = a, y = b일 때, a + b의 값은?
📖 풀이 해설
y = (2x−1)/(x−2)를 변형:
= (2(x−2)+4−1)/(x−2) = 2 + 3/(x−2)
수직 점근선: x = 2 → a = 2
수평 점근선: y = 2 → b = 2
a + b = 2 + 2 = 4
정답 ③ 4
17
단원4 · 무리함수
★★★★☆
무리함수 y = √(x − 3) + 2의 치역은?
📖 풀이 해설
x ≥ 3일 때 √(x−3) ≥ 0
따라서 y = √(x−3)+2 ≥ 0+2 = 2
치역: y ≥ 2
(시작점 (3, 2)에서 오른쪽 위로 증가)
정답 ③ y ≥ 2
18
단원1 · 항등식
★★★★★
등식 ax² + bx + 3 = 2(x − 1)² + c(x + 1)이 x에 대한 항등식일 때, a + b + c의 값은?
📖 풀이 해설
우변 전개: 2(x−1)²+c(x+1) = 2x²−4x+2+cx+c
= 2x² + (c−4)x + (2+c)
항등식 → 양변 계수 비교:
x²: a = 2
x¹: b = c−4
x⁰: 3 = 2+c → c = 1
따라서 b = 1−4 = −3
a+b+c = 2+(−3)+1 = 0
정답 ③ 0
19
단원2+4 · 역함수와 방정식
★★★★★
f(x) = 2x − 4일 때, f(f⁻¹(x)) + f⁻¹(f(x))의 값은?
📖 풀이 해설
역함수의 성질:
f(f⁻¹(x)) = x
f⁻¹(f(x)) = x
따라서 f(f⁻¹(x)) + f⁻¹(f(x)) = x + x = 2x
정답 ③ 2x
20
단원1+3 · 종합 심화
★★★★★
a + b = 3, ab = 1일 때, a³ + b³의 값은?
📖 풀이 해설
a³+b³ = (a+b)³ − 3ab(a+b)
= 3³ − 3×1×3
= 27 − 9 = 18
정답 ③ 18
최종 점수
-
점 / 100점
-
0
맞힌 문제
0
틀린 문제
-
소요 시간
0%
정확도