핵심 개념 & 암기 공식
- 제곱근: a ≥ 0일 때, x² = a를 만족하는 x → x = ±√a
- √a²= |a| (a의 절댓값) — a < 0이면 √a² = -a임에 주의!
- 무리수: 순환하지 않는 무한소수 (√2, π 등)
- 실수 = 유리수 ∪ 무리수 (서로 겹치지 않음)
√a × √b = √(ab) | √a ÷ √b = √(a/b)
a√b + c√b = (a+c)√b | √(a²b) = a√b (a>0)
💡 핵심 암기
√(a²) = |a|이므로, a가 음수이면 -a! 반드시 절댓값으로 처리할 것.
유리화: 분모에 √a → 분자분모에 √a를 곱함.
예제
√((-3)²) + √16의 값을 구하시오.
풀이: √9 + 4 = 3 + 4 = 7
a < 0, b > 0, a + b < 0일 때,
√(a²) − √(b²) + √(a−b)² 를 간단히 한 것은?
다음 식을 계산하면?
(√3 + √2)(√3 − √2) + (1 + √5)²
√7의 소수 부분을 a라 할 때, a² + a − 4의 값은?
(단, √7 ≈ 2.6458… 이용)
다음 중 옳지 않은 것은?
핵심 개념 & 암기 공식
(a+b)² = a²+2ab+b²
(a−b)² = a²−2ab+b²
(a+b)(a−b) = a²−b²
(x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab
(ax+b)(cx+d) = acx²+(ad+bc)x+bd
인수분해 공식:
a²+2ab+b² = (a+b)²
a²−b² = (a+b)(a−b)
x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
acx²+(ad+bc)x+bd = (ax+b)(cx+d)
💡 핵심 암기
인수분해 전략: ① 공통인수 먼저 ② 완전제곱식 확인 ③ 합·차 공식 ④ 십자 곱셈
복잡한 식은 공통 부분을 한 문자로 치환하여 인수분해
예제
x² − 5x + 6을 인수분해하시오.
풀이: (x−2)(x−3) [두 수 −2, −3의 합 = −5, 곱 = 6]
다음 식을 인수분해 한 것으로 옳은 것은?
x⁴ − 13x² + 36
x + y = 5, xy = 3일 때, x² + y²과 x³ + y³의 값으로 옳은 것은?
3x² − 12을 인수분해한 것은?
인수분해를 이용하여 103² − 97²의 값을 계산하면?
핵심 개념 & 암기 공식
- 이차방정식: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
- 인수분해법: (x−α)(x−β) = 0 → x = α 또는 x = β
- 제곱근법: x² = k → x = ±√k (k ≥ 0)
- 완전제곱식: (x+p)² = q → x = −p ± √q
근의 공식: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
판별식: D = b²−4ac
D > 0: 서로 다른 두 실근
D = 0: 중근 (서로 같은 두 실근)
D < 0: 실근 없음 (허근)
근과 계수의 관계: 두 근 α, β일 때
α + β = −b/a | αβ = c/a
💡 핵심 암기
b가 짝수(b = 2b')이면 간이근의 공식: x = (−b' ± √(b'²−ac)) / a
이차방정식 풀이 순서: ① 인수분해 → ② 제곱근법 → ③ 근의 공식
예제
x² − 5x + 6 = 0을 풀어라.
풀이: (x−2)(x−3) = 0 → x = 2 또는 x = 3
이차방정식 2x² − 6x + 1 = 0의 두 근을 α, β라 할 때,
α² + β²의 값은?
이차방정식 x² + kx + 9 = 0이 중근을 가지려면 k의 값은?
이차방정식 x² + ax + b = 0의 두 근이 3과 −2일 때, a + b의 값은?
가로의 길이가 세로의 길이보다 4cm 더 긴 직사각형의 넓이가 60cm²일 때,
세로의 길이는?
x² − 4x + 1 = 0을 완전제곱식을 이용하여 풀 때, 해는?
핵심 개념 & 암기 공식
- 이차함수: y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
- 표준형: y = a(x−p)² + q → 꼭짓점 (p, q), 축 x = p
- a > 0: 아래로 볼록 (최솟값 q), a < 0: 위로 볼록 (최댓값 q)
- |a|가 클수록 그래프의 폭이 좁아짐
y = ax²+bx+c의 꼭짓점:
x = −b/2a, y = c − b²/4a
x절편: 판별식 D = b²−4ac
D > 0: 두 점, D = 0: 한 점(접함), D < 0: x축과 안 만남
💡 핵심 암기
표준형으로 변환: y = a(x+b/2a)² + (c−b²/4a)
꼭짓점의 x좌표 = −b/2a (반드시 암기!)
이동: y=a(x−p)²+q는 y=ax²를 x축으로 p, y축으로 q만큼 평행이동
예제
y = 2(x−1)² + 3의 꼭짓점과 축을 구하시오.
풀이: 꼭짓점 (1, 3), 축 x = 1, 아래로 볼록(최솟값 3)
y = x² − 6x + 11을 표준형으로 변환했을 때, 꼭짓점의 좌표는?
y = 3x² − 6x + 5의 그래프를 x축으로 2, y축으로 −3 만큼 평행이동한
그래프의 꼭짓점 좌표는?
y = −2x² + 8x − 5의 최댓값은?
이차함수 y = x² − 4x + k가 x축과 두 점에서 만나려면 k의 범위는?
이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프가 다음 조건을 만족할 때, abc의 부호는?
• 위로 볼록한 포물선
• 꼭짓점이 제2사분면에 있음
• y절편이 양수
이차함수 y = −x² + 4x의 그래프가 x축과 만나는 두 점을 A, B라 하고,
꼭짓점을 C라 할 때, 삼각형 ABC의 넓이는?
꼭짓점이 (2, k)이고, 점 (0, 6)을 지나는 이차함수의 그래프가
x축과 두 점에서 만날 조건을 만족하는 정수 k의 개수는?