UNIT 1
집합과 명제
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📌 핵심 개념
- 집합: 어떤 조건에 의해 그 대상을 명확히 알 수 있는 것들의 모임
- 부분집합: A ⊆ B (A의 모든 원소가 B에 속함). 공집합 ∅은 모든 집합의 부분집합
- 부분집합 수: 원소가 n개인 집합의 부분집합의 수는 2ⁿ개
- 연산: 합집합 A∪B, 교집합 A∩B, 차집합 A−B, 여집합 Aᶜ
- 드모르간 법칙: (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ, (A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ
★ 필수 공식
n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(B∩C)−n(A∩C)+n(A∩B∩C)
부분집합 수 = 2ⁿ, 진부분집합 수 = 2ⁿ−1
💡 암기포인트
공집합도 부분집합! 원소 0개 → 2⁰=1개(공집합 자기자신). 드모르간은 괄호 열면 ∩↔∪ 교체!
공집합도 부분집합! 원소 0개 → 2⁰=1개(공집합 자기자신). 드모르간은 괄호 열면 ∩↔∪ 교체!
예제
전체집합 U={1,2,3,4,5,6,7,8}에서 A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}일 때, n(Aᶜ∩B)를 구하여라.
풀이: Aᶜ={5,6,7,8}, Aᶜ∩B={5,6} → 정답: 2
📌 명제
- 명제 p→q의 역: q→p, 이: ¬p→¬q, 대우: ¬q→¬p
- 명제와 대우는 진리값이 항상 같음 (역·이는 다를 수 있음)
- 필요조건·충분조건: p→q이면 p는 q의 충분조건, q는 p의 필요조건
- 필요충분조건: p↔q 이면 서로 필요충분조건 (동치)
💡 암기포인트
"충분"은 P→Q의 화살표 시작점(P), "필요"는 도착점(Q). 대우는 항상 원명제와 참·거짓이 같다!
"충분"은 P→Q의 화살표 시작점(P), "필요"는 도착점(Q). 대우는 항상 원명제와 참·거짓이 같다!
예제
명제 "x²=1이면 x=1이다"의 역, 이, 대우를 말하고 각각의 참·거짓을 판별하여라.
역: x=1→x²=1 (참), 이: x²≠1→x≠1 (참), 대우: x≠1→x²≠1 (거짓, x=−1인 경우)
UNIT 2
다항식
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📌 핵심 개념
- 나머지정리: 다항식 f(x)를 (x−a)로 나눈 나머지는 f(a)
- 인수정리: f(a)=0 이면 f(x)는 (x−a)를 인수로 가짐
- 조립제법: 계수만 이용하여 다항식 나눗셈을 빠르게 수행
- 항등식: x에 어떤 값을 대입해도 성립하는 등식 → 계수비교법 또는 수치대입법
★ 필수 공식
f(x) = Q(x)·(x−a) + r → r = f(a) (나머지정리)(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
(a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³
a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
💡 암기포인트
나머지정리: f(x)÷(x−a)의 나머지 = f(a). 즉 나누는 식을 0으로 만드는 값을 대입! 인수정리는 나머지=0인 특수한 경우.
나머지정리: f(x)÷(x−a)의 나머지 = f(a). 즉 나누는 식을 0으로 만드는 값을 대입! 인수정리는 나머지=0인 특수한 경우.
예제
다항식 f(x) = x³−3x²+2x+1을 (x−2)로 나눈 나머지를 구하여라.
나머지 = f(2) = 8−12+4+1 = 1
UNIT 3
방정식과 부등식
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📌 이차방정식
- 근의 공식: ax²+bx+c=0 → x = (−b±√(b²−4ac)) / 2a
- 판별식 D = b²−4ac: D>0 서로 다른 두 실근, D=0 중근, D<0 허근
- 근과 계수의 관계: 두 근 α,β에 대해 α+β=−b/a, αβ=c/a
📌 이차부등식
- ax²+bx+c>0의 해: D>0이면 두 근 α<β에 대해 x<α 또는 x>β (a>0인 경우)
- ax²+bx+c<0의 해: α<x<β (a>0인 경우)
- D<0이면 (a>0) ax²+bx+c>0의 해는 모든 실수, <0의 해는 없음
★ 필수 공식
근과 계수: α+β = −b/a, αβ = c/a판별식: D = b²−4ac
절댓값: |x|<a ↔ −a<x<a (a>0)
절댓값: |x|>a ↔ x<−a 또는 x>a (a>0)
💡 암기포인트
근과 계수: "합은 −(b/a), 곱은 c/a". 이차부등식: 그래프 개형 그리고 x축과의 위치 관계로 해 파악!
근과 계수: "합은 −(b/a), 곱은 c/a". 이차부등식: 그래프 개형 그리고 x축과의 위치 관계로 해 파악!
예제
이차방정식 x²−5x+6=0의 두 근을 α, β라 할 때, α²+β²을 구하여라.
α+β=5, αβ=6 → α²+β²=(α+β)²−2αβ=25−12=13