고2 · 1학기 기말고사 대비

수학 핵심 기출 20선

수열 · 지수&로그 · 삼각함수 | 난이도 ★★★★☆

⏱ 50:00
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UNIT 1 수열
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등차수열 (Arithmetic Sequence)

공차 d인 등차수열의 일반항과 합:

a_n = a₁ + (n-1)d S_n = n/2 · (2a₁ + (n-1)d) = n/2 · (a₁ + a_n)
⚡ 암기 포인트

등차중항: 2b = a + c (b가 a와 c의 등차중항)
등차수열의 합 S_n을 n으로 미분하면 a_n (n≥2)

📝 예제
첫째항이 3, 공차가 4인 등차수열의 제10항과 첫 10항의 합을 구하시오.
a₁₀ = 3 + 9×4 = 39
S₁₀ = 10/2 × (3+39) = 5×42 = 210
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등비수열 (Geometric Sequence)

a_n = a₁ · r^(n-1) S_n = a₁(rⁿ - 1)/(r-1) (r ≠ 1) S_n = n·a₁ (r = 1)
⚡ 암기 포인트

등비중항: b² = ac (b가 a와 c의 등비중항, a,c 같은 부호)
무한등비급수: |r|<1 이면 S = a₁/(1-r)

📝 예제
첫째항이 2, 공비가 3인 등비수열의 첫 5항의 합을 구하시오.
S₅ = 2×(3⁵-1)/(3-1) = 2×242/2 = 242
Σ

시그마(∑) 공식

∑k = n(n+1)/2 ∑k² = n(n+1)(2n+1)/6 ∑k³ = [n(n+1)/2]² ∑c = cn
⚡ 암기 포인트

∑(k=1→n) k³ = (∑k)² 임을 꼭 기억!
분리: ∑(aₖ±bₖ) = ∑aₖ ± ∑bₖ, ∑c·aₖ = c·∑aₖ

📝 예제
∑(k=1→10) k(k+1)의 값을 구하시오.
= ∑k² + ∑k = 10×11×21/6 + 10×11/2 = 385 + 55 = 440
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귀납적 정의 & 수학적 귀납법

[점화식 유형] a_{n+1} = a_n + d → 등차수열 a_{n+1} = r·a_n → 등비수열 a_{n+1} - a_n = f(n) → 계차수열
⚡ 수학적 귀납법 절차

① n=1일 때 성립 확인
② n=k일 때 성립 가정 → n=k+1일 때 성립 증명

UNIT 2 지수·로그 함수
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지수 법칙

aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ aᵐ÷aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (ab)ⁿ = aⁿbⁿ a⁰ = 1 (a≠0) a⁻ⁿ = 1/aⁿ aᵐ/ⁿ = ⁿ√(aᵐ)
📝 예제
2^(3/2) × 2^(1/2) ÷ 2^(1) 를 계산하시오.
= 2^(3/2 + 1/2 - 1) = 2^1 = 2
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지수함수 그래프

y = aˣ (a>0, a≠1) - a>1: 증가함수 - 0
⚡ 암기 포인트

y=aˣ 와 y=a⁻ˣ는 y축 대칭
y=aˣ 와 y=logₐx는 y=x 대칭 (역함수 관계)

㏒

로그 성질

logₐ(MN) = logₐM + logₐN logₐ(M/N) = logₐM - logₐN logₐMⁿ = n·logₐM logₐb = logcb/logca (밑 변환) logₐb = 1/logbₐ log₁₀ 2 ≈ 0.3010, log₁₀ 3 ≈ 0.4771
📝 예제
log₂ 6 + log₂(4/3)의 값을 구하시오.
= log₂(6 × 4/3) = log₂ 8 = log₂ 2³ = 3
UNIT 3 삼각함수
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삼각비 기본값 (단위원)

θ sin θ cos θ tan θ 0° 0 1 0 30° 1/2 √3/2 √3/3 45° √2/2 √2/2 1 60° √3/2 1/2 √3 90° 1 0 -
⚡ 부호 암기 (사분면)

1사분면: sin+, cos+, tan+
2사분면: sin+, cos-, tan-
3사분면: sin-, cos-, tan+
4사분면: sin-, cos+, tan-
암기: "모든(1) 삼학(2) 생도(3) 패시(4)"

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삼각함수 그래프

y = a·sin(bx + c) + d - 진폭: |a| - 주기: 2π/|b| - 위상 이동: -c/b - 수직 이동: d - 최댓값: |a| + d, 최솟값: -|a| + d
⚡ 공식 관계

sin²θ + cos²θ = 1
tan θ = sin θ/cos θ
1 + tan²θ = 1/cos²θ
1 + cot²θ = 1/sin²θ

📝 예제
y = 2sin(3x)의 주기와 최댓값을 구하시오.
주기 = 2π/3, 최댓값 = 2
➕

삼각함수 덧셈정리

sin(α±β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ cos(α±β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ tan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanα·tanβ) [배각공식] sin2α = 2sinα·cosα cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α

핵심 기출 20문항

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정답 & 해설