📐 2024 기말고사 대비

중3-1 기말 수학
핵심 기출 20제

제곱근 · 무리수 · 인수분해 · 이차방정식 · 이차함수 전 단원 완벽 정복

20 문제 수
4 단원
★★★ 난이도
40분 권장 시간
40:00
0 / 20
📚 개념 정리
✏️ 문제 풀기
📋 정답 해설
Unit 01
제곱근과 무리수

📖 핵심 개념

▸어떤 수 \(x\)를 제곱하여 \(a\)가 될 때, \(x\)를 \(a\)의 제곱근이라 한다: \(\sqrt{a}, -\sqrt{a}\)
▸\((\sqrt{a})^2 = a\), \(\sqrt{a^2} = |a|\) (단, \(a \geq 0\))
▸무리수: 순환하지 않는 무한소수. 분수로 나타낼 수 없음
▸실수 = 유리수 + 무리수

⚡ 암기 필수 공식

\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\) \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\) \((\sqrt{a})^2 = a\) \(\sqrt{a^2} = |a|\)

✏️ 예제

\(\sqrt{12} \times \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6\)
\(\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5\)
\(2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\) (동류항처럼 계산)
정답 방향: \(\sqrt{a^2} = |a|\) 조건 유의!
Unit 02
다항식의 인수분해

📖 핵심 개념

▸인수분해: 다항식을 곱의 꼴로 나타내기
▸완전제곱식: \(a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2\)
▸합차공식: \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
▸\(x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)\)
▸\(acx^2 + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d)\)

⚡ 암기 필수 공식

\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\) \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

✏️ 예제

\(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\) ← 합: -5, 곱: 6인 두 수
\(x^2 - 9 = (x+3)(x-3)\) ← 합차공식
\(2x^2 + 5x + 3 = (2x+3)(x+1)\) ← 교차곱 확인
포인트: 먼저 공통인수 묶기!
Unit 03
이차방정식

📖 핵심 개념

▸이차방정식의 표준형: \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\))
▸인수분해법, 완전제곱식법, 근의 공식 세 가지 방법
▸근의 공식: \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
▸판별식 \(D = b^2 - 4ac\): 양수→실근 2개, 0→중근, 음수→근 없음
▸근과 계수의 관계: \(\alpha+\beta = -\dfrac{b}{a}\), \(\alpha\beta = \dfrac{c}{a}\)

⚡ 암기 필수 공식

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) \(D = b^2-4ac\) \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\)

✏️ 예제

\(x^2 - 5x + 6 = 0\) → \((x-2)(x-3)=0\) → \(x=2\) 또는 \(x=3\)
\(2x^2+3x-2=0\) 근의 공식: \(x=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{4}=\frac{-3\pm5}{4}\)
→ \(x=\frac{1}{2}\) 또는 \(x=-2\)
Unit 04
이차함수

📖 핵심 개념

▸기본형: \(y=ax^2\) → 꼭짓점 (0, 0), 축: \(x=0\)
▸표준형: \(y=a(x-p)^2+q\) → 꼭짓점 \((p, q)\), 축: \(x=p\)
▸\(a>0\) 아래로 볼록(최솟값), \(a<0\) 위로 볼록(최댓값)
▸일반형: \(y=ax^2+bx+c\) → 축 \(x=-\dfrac{b}{2a}\), \(y\)절편 \(c\)
▸\(|a|\)가 클수록 폭이 좁아짐

⚡ 암기 필수 공식

꼭짓점: \((p,q)\) 축: \(x=p\) 축: \(x=-\frac{b}{2a}\) 꼭짓점 \(y\)좌표: \(c-\frac{b^2}{4a}\)

✏️ 예제

\(y = 2(x-3)^2+1\) → 꼭짓점 \((3,1)\), 축 \(x=3\), 최솟값 1
\(y = x^2-4x+3 = (x-2)^2-1\) → 꼭짓점 \((2,-1)\)
완전제곱식 변환이 핵심!
1
제곱근 ★★☆ 중
\(\sqrt{(-3)^2} + \sqrt{16} - \sqrt{0.25}\) 의 값은?
2
무리수 ★★☆ 중
다음 중 무리수인 것은?
3
제곱근 계산 ★★★ 상
\(\sqrt{75} - \sqrt{48} + \sqrt{27}\)의 값은?
4
제곱근 계산 ★★★ 상
\(\frac{4}{\sqrt{2}} + \sqrt{18}\)의 값은?
5
인수분해 ★★☆ 중
\(x^2 - 8x + 16\)을 인수분해하면?
6
인수분해 ★★★ 상
\(6x^2 - x - 2\)를 인수분해하면?
7
인수분해 활용 ★★★ 상
\(x^2-y^2+x+y\)를 인수분해하면?
8
이차방정식 ★★☆ 중
\(x^2-3x-10=0\)의 두 근의 합은?
9
이차방정식 ★★★ 상
\(2x^2-8x+k=0\)이 중근을 가질 때, 상수 \(k\)의 값은?
10
근의 공식 ★★★ 상
\(x^2-6x+4=0\)의 두 근 사이의 거리(차)는?
11
이차방정식 활용 ★★★ 상
연속하는 두 자연수의 곱이 72일 때, 두 자연수 중 큰 수는?
12
근과 계수 관계 ★★★ 상
\(x^2-5x+k=0\)의 두 근이 \(\alpha, \beta\)일 때, \(\alpha^2+\beta^2\)의 값이 13이면 \(k\)의 값은?
13
이차함수 ★★☆ 중
\(y = -2(x-3)^2 + 5\)의 꼭짓점의 좌표와 축은?
14
이차함수 ★★★ 상
\(y = x^2 - 6x + 11\)을 표준형으로 바꾸면?
15
이차함수 그래프 ★★★ 상
이차함수 \(y = ax^2 + bx + c\)의 그래프가 위로 볼록하고 축이 \(x = 2\)의 오른쪽, \(y\)절편이 양수일 때, 옳은 것은?
16
이차함수 최댓값·최솟값 ★★★ 상
\(y = -x^2 + 4x - 1\)의 최댓값은?
17
이차함수 결정 ★★★ 상
꼭짓점이 \((1, -4)\)이고 점 \((3, 0)\)을 지나는 이차함수의 식은?
18
인수분해 계산 ★★★ 상
인수분해를 이용하여 \(99^2 - 1\)을 계산하면?
19
이차방정식 활용 ★★★ 상
지면에서 초속 20m로 쏘아 올린 공의 높이가 \(h = 20t - 5t^2\)m일 때, 공이 지면에 떨어지는 시각은?
20
이차함수 종합 ★★★ 최상
\(y = 2x^2 - 8x + k\)의 그래프가 \(x\)축에 접할 때 (최솟값이 0), 상수 \(k\)의 값은?
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